Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Тогда по­лу­ча­ем:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 1,

Ре­ше­ние. 1)  Не­вер­но. Это может быть вы­пол­не­но не толь­ко в квад­ра­те.

2)  Верно.

3)  Не­вер­но. Хорда  — это от­ре­зок, свя­зы­ва­ю­щий две точки окруж­но­сти.

4)  Не­вер­но. Две пря­мые, каж­дая из ко­то­рых пер­пен­ди­ку­ляр­на тре­тьей пря­мой, па­рал­лель­ны.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. Вы­со­та, бо­ко­вая сто­ро­на и часть ос­но­ва­ния тра­пе­ции об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Ост­рый угол тра­пе­ции равен 180° – 117°  =  63°. Тогда ис­ко­мый угол равен 90° – 63°  =  27°.

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние пря­мой имеет вид Пря­мая про­хо­дит через точки (0; 3) и (–2; –1). Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты в фор­му­лу и по­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое урав­не­ние есть

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­став­ляя най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: −15.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при дву­крат­ном под­бра­сы­ва­нии ко­стей раз­лич­ных ва­ри­ан­тов сумм вы­пав­ших очков всего 36. Рас­смот­рим каж­дое со­бы­тие.

Со­бы­тие «сумма вы­пав­ших очков боль­ше 10» рав­но­ве­ро­ят­но со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 11 или 12». По­след­нее до­сти­га­ет­ся толь­ко при вы­па­де­нии сле­ду­ю­щих пар очков: 5 + 6, 6 + 5 или 6 + 6. Зна­чит,

Со­бы­тие «сумма вы­пав­ших очков боль­ше 8» рав­но­ве­ро­ят­но со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 9, или 10, или 11, или 12». По­след­нее до­сти­га­ет­ся толь­ко при вы­па­де­нии сле­ду­ю­щих пар очков: 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, 4 + 6, 6 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 5 или 6 + 6. Зна­чит,

Со­бы­тие «сумма вы­пав­ших очков не мень­ше 10» рав­но­ве­ро­ят­но со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 10, или 11, или 12». По­след­нее до­сти­га­ет­ся толь­ко при вы­па­де­нии сле­ду­ю­щих пар очков: 4 + 6, 6 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 5 или 6 + 6. Зна­чит,

Со­бы­тие «сумма вы­пав­ших очков не мень­ше 7» рав­но­ве­ро­ят­но со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 7, или 8, или 9, или 10, или 11, или 12». По­след­нее до­сти­га­ет­ся толь­ко при вы­па­де­нии сле­ду­ю­щих пар очков: 1 + 6, 6 + 1, 2 + 5, 5 + 2, 3 + 4, 4 + 3, 2 + 6, 6 + 2, 3 + 5, 5 + 3, 4 + 4, 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, 4 + 6, 6 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 5 или 6 + 6. Зна­чит,

Итак,

Ответ: ACBD.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство ребер графа равно по­ло­ви­не суммы сте­пе­ней его вер­шин. Пусть вер­шин сте­пе­ни 2 всего x, тогда вер­шин сте­пе­ни 3  — x + 5. По­лу­ча­ем:

Зна­чит, в этом графе одна вер­ши­на сте­пе­ни 2 и шесть вер­шин сте­пе­ни 3, то есть семь вер­шин всего.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Число A можно пред­ста­вить в виде Тогда

Зна­чит, число B дает оста­ток 2 от де­ле­ния на 9.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тие «сумма вы­пав­ших очков крат­на 10» рав­но­ве­ро­ят­но со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 10». Изоб­ра­зим все воз­мож­ные суммы в таб­ли­це. Вы­де­лим оран­же­вым цве­том ис­хо­ды, в ко­то­рых сумма вы­пав­ших очков ока­за­лась равна 10. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность ве­ро­ят­ность равна от­но­ше­нию числа оран­же­вых кле­ток к об­ще­му числу сумм, по­это­му она равна 

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть от­рез­ки BH и AC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BOC и HOA по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но

от­ку­да AH  =  21. Про­ве­дем вы­со­ту BM тра­пе­ции ABCD. Най­дем длину от­рез­ка AM: Тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная, по­это­му зна­чит,

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Пусть вто­рой насос за 1 ми­ну­ту пе­ре­ка­чи­ва­ет x л воды, тогда пер­вый насос за 1 ми­ну­ту пе­ре­ка­чи­ва­ет x + 12 л. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Ответ: 33 л/мин.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки DOC и EOC имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны C, по­это­му их пло­ща­ди от­но­сят­ся как ос­но­ва­ния: Тре­уголь­ни­ки EOC и DOA по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но, Далее по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 19.