Ре­ше­ние. Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: 2; 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пред­ло­жен­ные утвер­жде­ния.

1)  Ос­но­ва­ния любой тра­пе­ции па­рал­лель­ны  — верно.

2)  Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°  — не­вер­но. Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180°.

3)  Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу  — не­вер­но. Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, па­рал­лель­ны друг другу.

4)   Центр впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник окруж­но­сти сов­па­да­ет с цен­тром опи­сан­ной около него окруж­но­сти  — верно.

Не­вер­ные утвер­жде­ния  — 2 и 3.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Из пер­во­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что из вто­ро­го, что а из тре­тье­го, что x от­ри­ца­тель­но, зна­чит, x на­хо­дит­ся в про­ме­жут­ке

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. От­ме­тим на чис­ло­вой оси об­ла­сти, ко­то­рые со­от­вет­ству­ют ука­зан­ным со­бы­ти­ям. Со­бы­тию А со­по­ста­вим от­ре­зок [−100; 50], cобы­тию В  — от­ре­зок [−200; 200], со­бы­тию С со­по­ста­вим от­ре­зок [−100; 100], а со­бы­тию D  — от­ре­зок [−200; 100]. Мень­шие от­рез­ки це­ли­ком со­дер­жат­ся в боль­ших, по­это­му по­па­да­ние слу­чай­но рас­пре­де­лен­ной ве­ли­чи­ны в мень­ший от­ре­зок озна­ча­ет ее по­па­да­ние и в боль­ший от­ре­зок. Сле­до­ва­тель­но, спра­вед­ли­ва сле­ду­ю­щая оцен­ка ве­ро­ят­но­стей со­бы­тий:

Ответ: ACDB.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что угол BMA равен углу MAD, по­сколь­ку они яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми. Тре­уголь­ник BAM  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равен

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Все пред­став­лен­ные здесь функ­ции  — ги­пер­бо­лы. Общая фор­му­ла для урав­не­ния ги­пер­бо­лы: если то ветви ги­пер­бо­лы рас­по­ла­га­ют­ся в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях, в про­тив­ном слу­чае  — во вто­рой и четвёртой чет­вер­тях.

Для того, чтобы от­ли­чить ги­пер­бо­лы ле­жа­щие в оди­на­ко­вых чет­вер­тях нужно под­ста­вить какое-ни­будь зна­че­ние x в фор­му­лу и про­ве­рить, ка­ко­му гра­фи­ку будет со­от­вет­ство­вать по­лу­чен­ное зна­че­ние.

Таким об­ра­зом, уста­но­вим со­от­вет­ствие: А  — 2, Б  — 1, В  — 3.

Ответ: 213.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

При и по­лу­ча­ем:

Ответ: − 6.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­ка про­из­ве­де­ние вы­пав­ших очков де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 30, равно 9: 1 · 5, 2 · 5, 3 · 5, 4 · 5, 5 · 5, 5 · 1, 5 · 2, 5 · 3, 5 · 4. Каж­дый из ку­би­ков может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6 · 6  =  36. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что про­из­ве­де­ние вы­пав­ших очков де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 30 равна

Ответ:

Ре­ше­ние. В схеме че­ты­ре чет­ных и две не­чет­ных точки. Если в дан­ном слу­чае Игорь нач­нет ри­со­вать из чет­ной точки, то он за­кон­чит ри­со­вать в этой же точке. Сле­до­ва­тель­но, Игорь за­кон­чил ри­со­вать схему в точке B.

Ответ: B.

Ре­ше­ние. Пусть от­рез­ки BH и AC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BOC и HOA по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пусть ско­рость те­че­ния равна x км/ч, а ско­рость мо­тор­ной лодки равна y км/ч. Тогда ско­рость мо­тор­ной лодки по те­че­нию равна км/ч, а её ско­рость про­тив те­че­ния равна км/ч. По­сколь­ку плот дви­га­ет­ся со ско­ро­стью те­че­ния, по­лу­ча­ем:

км/ч.

Ответ:  часа или 160 минут.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел такая же, как по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния по­след­них цифр этих чисел. Поль­зу­ясь этим пра­ви­лом, со­ста­вим по­сле­до­ва­тель­ность по­след­них цифр сте­пе­ней се­мер­ки: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... За­ме­тим, что в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти блоки по три цифры 7, 9, 3, 1 по­вто­ря­ют­ся, зна­чит, по­след­няя цифра числа 7⁴⁹⁷ за­ви­сит от того, какой оста­ток будет да­вать число 497 при де­ле­нии на 4 (по­сколь­ку блоки по 4 цифры). По­сколь­ку оста­ток 497 при де­ле­нии на 4 равен 1, то 7⁴⁹⁷ за­кан­чи­ва­ет­ся на такую же цифру, как и 7¹. Таким об­ра­зом, по­след­няя цифра числа  — это 7.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть боль­шая сто­ро­на листа фор­ма­та А6 равна x мм, а мень­шая равна y мм. Тогда боль­шая сто­ро­на листа фор­ма­та А7 равна y мм, а мень­шая сто­ро­на равна  мм. Учи­ты­вая, что от­но­ше­ния сто­рон ли­стов всех фор­ма­тов одно и то же, по­лу­ча­ем

От­но­ше­ние боль­шей сто­ро­ны к мень­шей равно Тогда длина мень­шей сто­ро­ны листа фор­ма­та А0 равна

Ответ: 105 мм.

Ре­ше­ние. При по­лу­ча­ем не­вер­ное ра­вен­ство:

При то урав­не­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным и имеет един­ствен­ный ко­рень, если его дис­кри­ми­нант равен 0:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNM равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка NCD равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMD равна

Тогда

Ответ: 20.