Ре­ше­ние. Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: −4; 9.

Ре­ше­ние. 1)  «Любой па­рал­ле­ло­грамм, в ко­то­ром две сто­ро­ны равны, яв­ля­ет­ся ром­бом»  — не­вер­но. Ром­бом яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны.

2)  «Любой четырёхуголь­ник, в ко­то­ром две диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, яв­ля­ет­ся квад­ра­том»  — не­вер­но. Су­ще­ству­ют четырёхуголь­ни­ки с рав­ны­ми вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми, ко­то­рые не яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми.

3)  «Любой па­рал­ле­ло­грамм, в ко­то­ром диа­го­на­ли равны, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком»  — верно.

4)  «В любой тра­пе­ции оба угла при мень­шем ос­но­ва­нии тупые»  — один из углов при мень­шем ос­но­ва­нии может быть ост­рым.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Если то сле­до­ва­тель­но, точка x лежит пра­вее числа a. Если то сле­до­ва­тель­но, точка x лежит левее числа b. Рас­смот­рим не­ра­вен­ство Обе части не­ра­вен­ства можно раз­де­лить на a², знак не­ра­вен­ства не по­ме­ня­ет­ся, так как по­лу­ча­ем, что Рас­по­ло­жим числа на пря­мой, со­блю­дая усло­вия Ответ по­ка­зан на ри­сун­ке.

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. По свой­ству смеж­ных углов

Тре­уголь­ник HTN  — пря­мо­уголь­ный, сумма его ост­рых углов равна 90°. Если угол HTN равен 27°, то угол HNT равен 90° − 27°  =  63°. По свой­ству ромба диа­го­на­ли яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, по­это­му

Ответ: 126.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая про­хо­дит через точки и Урав­не­ние пря­мой имеет вид Решим си­сте­му

Таким об­ра­зом, урав­не­ние пря­мой имеет вид

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

При x  =  3,96 по­лу­ча­ем:

Ответ: 200.

Ре­ше­ние. От­ме­тим на чис­ло­вой оси об­ла­сти во­круг числа 3, ко­то­рые со­от­вет­ству­ют ука­зан­ным со­бы­ти­ям. Со­бы­тию А со­по­ста­вим от­ре­зок [2,9; 3,2], cобы­тию В  — от­ре­зок [2,9; 3,1], со­бы­тию С со­по­ста­вим от­ре­зок [2,8; 3,2], а со­бы­тию D  — от­ре­зок [2,5; 3,5]. Мень­шие от­рез­ки це­ли­ком со­дер­жат­ся в боль­ших, по­это­му по­па­да­ние слу­чай­но рас­пре­де­лен­ной ве­ли­чи­ны в мень­ший от­ре­зок озна­ча­ет ее по­па­да­ние и в боль­ший от­ре­зок. Сле­до­ва­тель­но, спра­вед­ли­ва сле­ду­ю­щая оцен­ка ве­ро­ят­но­стей со­бы­тий:

Ответ: BACD.

Ре­ше­ние. Сумма сте­пе­ней вер­шин графа вдвое боль­ше ко­ли­че­ства его ребер, по­это­му она равна 28. Вер­шин сте­пе­ни 2 и сте­пе­ни 5 по­ров­ну. Най­дем общее ко­ли­че­ство вер­шин:

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим три по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа как a, a + 1, a + 2. Тогда сумма их квад­ра­тов равна:

Сла­га­е­мые 3a² и 6a крат­ны 3, а число 5 при де­ле­нии на 3 дает оста­ток 2, зна­чит, вся сумма при де­ле­нии на 3 дает оста­ток  2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим все воз­мож­ные суммы в таб­ли­це. Вы­де­лим оран­же­вым цве­том ис­хо­ды, в ко­то­рых сумма вы­пав­ших очков ока­за­лась не мень­ше 9. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность ве­ро­ят­ность равна от­но­ше­нию числа оран­же­вых кле­ток к об­ще­му числу сумм, по­это­му она равна 

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Обо­зна­чим вто­рой ко­рень урав­не­ния x₂. По тео­ре­ме Виета Тогда

Воз­мож­но дру­гое ре­ше­ние с пред­ва­ри­тель­ным на­хож­де­ни­ем ко­эф­фи­ци­ен­та c.

Ответ:

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки AMC и ALC равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим углам. Сле­до­ва­тель­но, AM  =  CL. Тогда BM  =  BL, и тре­уголь­ник MBL по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC, а по­то­му Сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки ML и AC па­рал­лель­ны, по­это­му Зна­чит, тре­уголь­ник AML рав­но­бед­рен­ный: ML  =  AM. Пусть AM  =  ML  =  LC  =  x. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MBL и ABC по­лу­ча­ем:

от­ку­да x  =  1,2.

Ответ: 1,2.

Ре­ше­ние. При­няв ско­рость лодки за x км/ч, со­ста­вим урав­не­ние

от­ку­да

Корни урав­не­ния 0 и 30. От­бра­сы­вая ко­рень 0, по­лу­ча­ем, что ско­рость лодки 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть бис­сек­три­са угла ADC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в ее се­ре­ди­не M, а луч CB  — в точке E вне тра­пе­ции. Так как тре­уголь­ник ECD  — рав­но­бед­рен­ный: Зна­чит, Тре­уголь­ни­ки EBM и DAM равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим углам, по­это­му Про­ве­дем от­ре­зок CF к сто­ро­не AD па­рал­лель­но пря­мой AB. По­лу­ча­ет­ся тре­уголь­ник CFD, при­чем

а По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник CFD пря­мо­уголь­ный: Таким об­ра­зом, от­ре­зок CF яв­ля­ет­ся вы­со­той тра­пе­ции. Зна­чит, ее пло­щадь равна

Ответ: 820.