PDF-версии: 
Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 3, а основание AC равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы AL и CM. Найдите длину отрезка LM.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому углы BAC и BCA равны. Лучи AL и CM суть биссектрисы углов BAC и BCA соответственно, а потому 
Следовательно, треугольники AMC и CLA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, то есть 
Отсюда 
Треугольники ABC и BML являются равнобедренными с общим углом при вершине, а потому подобны. Следовательно, соответственные углы BAC и BML, образованные при пересечении прямых AC и ML секущей AB, равны, то есть прямые AC и ML параллельны. Таким образом, углы BAL и MLA равны как накрест лежащие при пересечении прямых AC и ML секущей AL. Следовательно, треугольник AML — равнобедренный, 
Из доказанного подобия треугольников ABC и MBL получаем, что 
а потому
то есть 
откуда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Найдено большее основание трапеции, дальнейшее продвижение отсутствует, либо ошибочно | 1 |
| Решение неверно или отсутствует | 0 |
| Максимальный балл | 2 |