За­ме­тим, что по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел такая же, как по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния по­след­них цифр этих чисел. Поль­зу­ясь этим пра­ви­лом, со­ста­вим по­сле­до­ва­тель­ность по­след­них цифр сте­пе­ней вось­мер­ки: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6, ... За­ме­тим, что в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти блоки по че­ты­ре цифры 8, 4, 2, 6 по­вто­ря­ют­ся, зна­чит, по­след­няя цифра числа 8⁵⁸⁸ за­ви­сит от того, какой оста­ток будет да­вать число 588 при де­ле­нии на 4 (по­сколь­ку блоки по 4 цифры). По­сколь­ку оста­ток 588 при де­ле­нии на 4 равен 0, то 8⁵⁸⁸ за­кан­чи­ва­ет­ся на такую же цифру, как и 8⁴. Таким об­ра­зом, по­след­няя цифра числа  — это 6.

Ответ: 6.