Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел такая же, как по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния по­след­них цифр этих чисел. Поль­зу­ясь этим пра­ви­лом, со­ста­вим по­сле­до­ва­тель­ность по­след­них цифр сте­пе­ней се­мер­ки: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... За­ме­тим, что в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти блоки по три цифры 7, 9, 3, 1 по­вто­ря­ют­ся, зна­чит, по­след­няя цифра числа 7⁴⁹⁷ за­ви­сит от того, какой оста­ток будет да­вать число 497 при де­ле­нии на 4 (по­сколь­ку блоки по 4 цифры). По­сколь­ку оста­ток 497 при де­ле­нии на 4 равен 1, то 7⁴⁹⁷ за­кан­чи­ва­ет­ся на такую же цифру, как и 7¹. Таким об­ра­зом, по­след­няя цифра числа  — это 7.

Ответ: 7.