Тип 16 № 2805 
Геометрическая задача повышенной сложности. Четырёхугольники
i
Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны. Найти отношение BH к ED, если 
Решение. 
Продлим AB и DC до пересечения в точке O. Тогда треугольники OBC, OCE, OHA, OAD подобны по двум углам — 
и прямому. Значит,
Перемножая первые два и последние два отношения, находим 
откуда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, заключаем, что прямые BH и ED параллельны. Заметим, что 
Далее имеем:
Ответ: 1 : 2.
Приведем другое решение.
Угол ADO равен 45°, поэтому прямоугольный треугольник АОD — равнобедренный. Значит, его высота АН является медианой: 
Прямые ЕD и BН параллельны, тогда, по теореме Фалеса, 
Значит, отрезок ВН — средняя линия треугольника ЕOD, а тогда отрезок ВН — половина отрезка ЕD.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Задача решена верно и полностью | 2 |
| Первый шаг решения верный, дальнейшие продвижения отсутствуют, либо ошибочны | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 1 : 2.
PDF-версии: